Question

【题目】如图，在平行四边形中，对角线，交于点. 为中点，连接交于点，且.

（1）求的长；

（2）若的面积为2，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）5.

【解析】

(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；

(2)由相似三角形相似比为1：2，得到S△MND：S△CND=1：4，可得到△MND面积为1，△MCD面积为3，由S平行四边形ABCD=ADh，S△MCD=MDh=ADh，=4S△MCD，即可求得答案．

(1)∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，

∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，

∴△MND∽△CNB，∴，

∵M为AD中点，所以BN=2DN，

设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，

∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3,∴BD=2x=6；

(2)、∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，

∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，

∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为1，∴△MCD面积为3，

设平行四边形AD边上的高为h，

∵S平行四边形ABCD=ADh，S△MCD=MDh=ADh，

∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=12，∴S△ABD=6，

∴S四边形ABNM= S△ABD- S△MND =6-1=5．