Question

【题目】如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），动点P从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿AO向O运动，在点P出发的同时，动直线EF从x轴出发，以每秒1个长度单位沿y轴方向向上平移，分别与y轴、线段AB交于EP、FP．设运动时间为ts（0＜t≤2）．

（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△EOP与△AOB相似？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

（2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）存在，理由见解析，t的值为s或s；（2）t的值为s或（16﹣4）s

【解析】

（1）分∠EPO＝∠BAO和∠EPO＝∠ABO两种情况，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；

（2）分PE＝PF, EP＝EF, FE＝FP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质和勾股定理进行解答即可．

解：（1）存在，理由如下：

∵A、B两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，

即

解得：t＝ ；

当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，

即

解得：t＝ ；

综上所述，存在某一时刻t，使得△EOP与△AOB相似，t的值为s或s；

（2）分三种情况：

①当PE＝PF时，如图1所示：作PG⊥EF于G，如图1所示：

则EG＝OP，

∴EF＝2EG＝2OP，

∵EF∥OA，

∴△BEF∽△BOA，

即

解得：EF＝（3﹣t），

∴（3﹣t）＝2（4﹣2t）

解得：t＝ ；

②当EP＝EF时，由勾股定理得

t2+（4﹣2t）2＝[（3﹣t）]2，

整理得：29t2+24t＝0，

解得：t＝0（不合题意舍去）或t＝ （不合题意舍去）；

③当FE＝FP时，作FG⊥OA于G，如图3所示：

则OG＝EF＝（3﹣t），PG＝OG﹣OP＝（3﹣t）﹣（4﹣2t），

∵FE2＝FP2，

∴[(3﹣t）]2＝t2+[（3﹣t）﹣（4﹣2t）]2，

解得：t＝16+4 （不合题意舍去）或t＝16﹣4 ；

综上所述，若△PEF是等腰三角形，t的值为s或（16﹣4）s．