Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标;

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)(，)；(3)，.

【解析】

试题分析：(1)利用待定系数法求出函数解析式；(2)首先求出对称轴，求出点A关于对称轴对称的点E的坐标，连接CE交对称轴与点D，则△ACD的周长最小，根据题意求出直线CE的解析式，然后得出点D的坐标；(3)分成以A为直角顶点和以C为直角顶点两种情况分别进行计算，得出点P的坐标.

试题解析：(1)、∵抛物线过点，，

∴∴∴抛物线的函数关系式为.

(2)、∵，∴抛物线的对称轴为直线.

设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为.

连接交直线于点，此时的周长最小.

设直线的函数表达式为，代入的坐标，

则解得所以，直线的函数表达式为.

当时，.∴ 点的坐标为.

(3)、存在.

①当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点.

∵，，

∴.

∵，，∴.

∴.

∴.∴.

∴点的坐标为.

设直线对应的一次函数的表达式为，代入的坐标，

则解得

所以，直线的函数表达式为.令，则.∴点的坐标为.

②当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点.

与①同理可得是等腰直角三角形，∴.

∴点的坐标为.∵，，

∴.

∴直线的函数表达式为.

令，则.∴点的坐标为.

综上，在对称轴上存在点，，使成为以为直角边的直角三角形．