Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，B（1，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，经过点B（1，0），C（0，-3），
∴，
解得，
所以，二次函数的解析式是：y=x²+2x-3；

（2）如图，∵A、B两点关于对称轴x=-1对称，
∴点A（-3，0），
作直线AC交对称轴于点P，点P即为所求，
根据三角形的三边关系，PA-PC＜AC，
所以，当点P为AC与对称轴的交点时，点P到A、C两点距离之差最大，
设直线AC的解析式是：y=kx+b，
∴，
解得，
∴设直线AC的解析式是：y=-x-3，
当x=-1时，y=-2，
∴点P的坐标是（-1，-2）．
分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=-=-1，把点B、C的坐标代入抛物线解析式，然后组成关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称性求出点A的坐标，作直线AC，根据三角形的两边之差小于第三边确定当点P为AC与对称轴的交点时，点P到A、C两点距离之差最大，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，再把x=-1代入求出y的值，即可得到点P的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（抛物线解析式与直线解析式），三角形的三边关系的利用，综合题但难度不大，比较简单，（2）中判断出点P的位置是解题的关键．