Question

如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下四个结论：①MN∥AB；②

1

MN

=

1

AC

+

1

BC

；③MN≤

1

4

AB．④AB=2MN；其中正确的结论有

 

（填写序号即可）

Answer 1

分析：（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
（4）根据③直接得出MN≠

1

2

AB．

解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴

CN

NE

=

DC

BE

①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴

AM

ME

=

AD

CE

②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴

CN

NE

=

AM

ME

，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴

CN

NE

=

DN

NB

，
设

CN

NE

=

DN

NB

=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴△EMN∽△EAC，
∴

MN

AC

=

NE

CE

=

NE

NE+CN

=

1

k+1

，

MN

BC

=

DN

DB

=

DN

DN+NB

=

k

k+1

，
∴

MN

AC

+

MN

BC

=1，
∴

1

MN

=

1

AC

+

1

BC

；

（3）∵

1

MN

=

1

AC

+

1

BC

，
∴MN=

AC•BC

AC+BC

=

AC•BC

AB

，
设AB=a（常数），AC=x，
则MN=

1

a

x（a-x）=-

1

a

（x-

1

2

a）²+

1

4

a≤

1

4

a；

（4）由③得出MN≠

1

2

AB，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：此题考查了三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用，综合性比较强．