Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于，两点，已知点与点关于坐标原点成中心对称，且点的坐标为．其中．

（1）四边形是　　　　　．（填写四边形的形状）

（2）当点的坐标为时，且四边形是矩形，求，的值．

（3）试探究：随着与的变化，四边形能不能成为菱形?若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） 平行四边形；（2）；（3） 四边形 不可能成为菱形，理由见解析.

【解析】（1）根据正、反比例函数的对称性即可得出点A、C关于原点O成中心对称，再结合点B与点D关于坐标原点O成中心对称，即可得出对角线BD、AC互相平分，由此即可证出四边形ABCD的是平行四边形；

（2）由点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值，进而得出点A的坐标以及OA的长度，再根据矩形的性质即可得出OB=OA，由点B的坐标即可求出m值；

（3）由点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，可得出∠AOB＜90°，而菱形的对角线互相垂直平分，由此即可得知四边形ABCD不可能成为菱形．

（1）∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象分别交于A、C两点，

∴点A、C关于原点O成中心对称，

∵点B与点D关于坐标原点O成中心对称，

∴对角线BD、AC互相平分，

∴四边形ABCD的是平行四边形．

故答案为：平行四边形．

（2）∵点A（n，3）在反比例函数y=的图象上，

∴3n=3，解得：n=1，

∴点A（1，3），

∴OA=．

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OB=OA=，

∴m=．

（3）四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：

∵点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，

∴∠AOB＜90°，

∴AC与BD不可能互相垂直，

∴四边形ABCD不可能成为菱形．