练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，且AO=4，AB=8，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动，设动点P运动时间为t秒．在x轴上取两点M、N，使△PMN为等边三角形．
    （1）直接写出A点的坐标；
    （2）如图1，当等边△PMN的顶点M与原点O重合时，求PM的长；
    （3）设等边△PMN的边长为a（如图2），当1≤t≤5时，求y=a2-
    13
    t2    的最大值和最小值．
    精英家教网
    分析：（1）直接写出A坐标即可；
    （2）求出△APO∽△AOB，得到比例式，代入求出即可；
    （3）证BN=PN=MN=a，证△MPB∽△AOB，得到比例式，求出a=
    8
    		3
    3
    -
    		3
    3
    t，代入y求出y=-
    16
    3
    t+
    64
    3
    ，根据一次函数的性质求出即可．
    解答：解：（1）A点的坐标是（0，4）．

    （2）在△AOB中，AB=8，AO=4，由勾股定理得：BO=4
    		3
    ，
    ∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
    ∴∠OAB=180°-90°-30°=60°，
    ∵等边三角形PMN，
    ∴∠PMN=60°，
    ∴∠AOP=90°-60°=30°，
    ∴∠APM=180°-∠BAO-∠AOP=90°=∠AOB，
    ∵∠OAB=∠OAB，
    ∴△APO∽△AOB，
    ∴
    PM
    OB
    =
    OA
    AB
    ，
    PM
    4
    		3
    =
    4
    8
    ，
    ∴PM=2
    		3
    ，
    答：PM的长是2
    		3
    ．

    （3）∵等边三角形PMN，
    ∴PM=MN=PN，∠PNM=∠PMN=60°，
    ∵∠ABO=30°，
    ∴∠NPB=60°-30°=30°=∠ABO，
    ∴PN=BN=MN=a，
    ∵∠PMN=60°=∠OAB，∠ABO=∠ABO，
    ∴△MPB∽△AOB，
    ∴
    BP
    OB
    =
    BM
    AB
    ，
    即
    8-t
    4
    		3
    =
    a+a
    8
    ，
    解得：a=
    8
    		3
    3
    -
    		3
    3
    t，
    ∴y=a2-
    1
    3
    t2=(
    8
    		3
    3
    -
    		3
    t
    3
    )    2    -
    1
    3
    t2=-
    16
    3
    t+
    64
    3
    ，
    ∵k=-
    16
    3
    ＜0，
    ∴y随t的增大而减小，
    ∵1≤t≤5，
    ∴当t=1时，y的最大值是：y=-
    16
    3
    ×1+
    64
    3
    =16；
    当t=5时，y的最小值是：y=-
    16
    3
    ×5+
    64
    3
    =-
    16
    3
    ；
    答：当1≤t≤5时，求y=a2-
    1
    3
    t2    的最大值和最小值分别是16，-
    16
    3
    ．
    点评：本题主要考查对一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案