Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=mx²+nx+3经过点A和点（2，3），与x轴的另一交点为C．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点P是x轴下方的抛物线上一点，且△ACP的面积为10，求P点坐标；
（3）若点D为抛物线上AB段上的一动点（点D不与A，B重合），过点D作DE⊥x轴交x轴于F，交线段AB于点E．是否存在点D，使得四边形BDEO为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函数求出A点坐标，将A点坐标和（2，3）分别代入二次函数解析式y=mx²+nx+3，求出m、n的值即可；
（2）求出抛物线的解析式，求出C点坐标，即可求出AC的长，设出P点坐标，用含P点纵坐标的解析式表示出△ACP的面积，又知道其面积为10，可据此建立关于P点纵坐标的方程，解方程即可；
（3）先假设存在四边形BDEO为平行四边形，则有DE=BO，设出D（a，-a²+2a+3），据此即可得出E点坐标的表达式，
由DE=y_D-y_E，可得到关于a的方程，若方程有根，则四边形BDEO为平行四边形，否则不是平行四边形．
解答：解：（1）在y=-x+3中，当y=0，x=3，
∴A（3，0）…（1分）
把A（3，0），（2，3）代入y=ax²+bx+3，
得，
解得，
∴y=-x²+2x+3…（4分），

（2）在y=-x²+2x+3中，当y=0时，有-x²+2x+3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0），
∴AC=4  …（5分），
设P（x_p，y_p）．
∴S_△ACP=，
∴|y_P|=5，
又∵P点在x轴下方，
∴y_P=-5…（7分），
∴-5=-x²+2x+3，
∴x₁=4，x₂=-2，
∴P坐标为（4，-5）或（-2，-5）…（8分）．

（3）不存在…（9分），
∵DE⊥x轴，OB⊥x轴，
∴DE∥OB．
若四边形BDEO为平行四边形，则DE=BO．
设D（a，-a²+2a+3），
∵E在直线AB：y=-x+3上．
∴E（a，-a+3），
∴DE=y_D-y_E=-a²+2a+3-（-a+3）=-a²+3a．
当DE=BO时，有-a²+3a=3．…（11分）
即a²-3a+3=0，△=9-12＜0，
∴方程无实数根．…（12分）
即DE≠BO，
∴不存在点D，使四边形BDEO为平行四边形．…（13分）
点评：本题考查了二次函数的相关知识，是二次函数综合题，不仅涉及待定系数法求二次函数解析式，还要知道存在性问题的基本思路．