Question

9．已知：如图，C是⊙A与⊙B的一个交点，联结AC，并延长交⊙B于点D，⊙B交AB于点P，联结BC、BD，AB=8，AC=6，⊙B的半径为x，线段AD的长为y．
（1）当∠A=30°时，求弦CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结DP，当∠CBD=∠A，求△BCD与△BDP的面积之比．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥CD于点E，利用30°的直角△AEB，可得AE的值，就可求出CE的值，由CE=DE，可得CD=2CE即可求出CD的值．
（2）同样利用图1，作BE⊥CD于点E，先得出CE=DE，即可得出CE=$\frac{1}{2}$（AD-AC）=$\frac{1}{2}$（y-6），由⊙B的半径为x，可得OC=x，由BE²=OC²-CE²=AB²-AE²，可得出y关于x的函数解析式，由y＞6，写出它的定义域即可；
（3）连接DP，由∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，可得△BCD∽△ABD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S_△BCD：S_△ABD=BD²：AD²，由△BDP与△ABD同底为BD，可得S_△BDP：S_△ABD=BP：AB，即可求出S_△BCD：S_△BDP的值．

解答 解：（1）如图1，作BE⊥CD于点E，

∵∠A=30°，AB=8，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∵AC=6，
∴CE=AE-AC=4$\sqrt{3}$-6，
又∵BC=BD，
∴CE=DE，
∴CD=2CE=2×（4$\sqrt{3}$-6）=8$\sqrt{3}$-12，
（2）如图1，作BE⊥CD于点E，
∵BC=BD，
∴CE=DE，
∴CE=$\frac{1}{2}$（AD-AC）=$\frac{1}{2}$（y-6），
∵⊙B的半径为x，
∴OC=x，
∴BE²=OC²-CE²=x²-$\frac{1}{4}$（y-6）²，
∵BE²=AB²-AE²=64-（$\frac{1}{2}$y+3）²，
∴x²-$\frac{1}{4}$（y-6）²=64-（$\frac{1}{2}$y+3）²，化简得：y=$-\frac{1}{6}$x²+$\frac{32}{3}$．
（由y＞6，得出0＜x＜2$\sqrt{7}$）．
（3）如图2，连接DP，

∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴S_△BCD：S_△ABD=BD²：AD²=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，
∵△BDP与△ABD同底为BD，
∴S_△BDP：S_△ABD=BP：AB=$\frac{x}{8}$，
∴S_△BCD：S_△BDP=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$：$\frac{x}{8}$=$\frac{8x}{{y}^{2}}$．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及含30度角的直角三角形，勾股定理，相似比及二次函数知识等．解题的关键是正确作出辅助线，根据题意列式．