Question

如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C，设运动时间为t．
（1）求出矩形ABCD的边长BC；
（2）如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；
（3）当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△DBC中，由于∠BDC=60°，CD=AB=8，利用三角函数知识即可求出BC的长度；
（2）当图形运动到第6秒时，此时点P在AB上，由此得到OD=6，AP=6，由∠BDC=60°得到∠BDA=30°，平移过程中∠BDA保持不变，所以利用三角函数的定义可以求出D点坐标，接着可以求出A的坐标，也就求出P的坐标；
（3）当点P在BC边运动时，即8≤t≤8+8

3

，已知条件可以求出点D和C的坐标，接着求出P的坐标，再用t分别表示PE、PF，最后根据矩形相似的对应边成比例即可求出t的值．

解答：解：（1）在Rt△DBC中，∵∠BDC=60°，CD=AB=8
∴BC=CD•tan60°=8

3

；

（2）当图形运动到第6秒时，
此时点P在AB上，OD=6，AP=6，
而∠BDA=30°，
∴D点坐标为(3

3

，3)，
∴点A坐标为(11

3

，3)，
∴点P的坐标为(11

3

，9)；

（3）当点P在BC边运动时，即8≤t≤8+8

3

，
而DO=t，∠BOA=30°，
∴点D的坐标为(

3

2

t，

1

2

t)，点C的坐标为(

3

2

t，

1

2

t+8)
∴点P的坐标为(8+8

3

-t+

3

2

t，

1

2

t+8)，
即PF=8+8

3

-t+

3

2

t，PE=

1

2

t+8，
若矩形PEOF与矩形ABCD相似，
①若

PE

OE

=

BA

DA

，
∴

1 2 t+8

8+8 3 -t+ 3 2 t

=

8

8 3

，
解得t=8，
②若

PE

OE

=

DA

BA

，
则

1 2 t+8

8+8 3 -t+ 3 2 t

=

8 3

8

，
解得t=

16+8 3

3 -1

．
因为t=

16+8 3

3 -1

＞8+8

3

，此时点P不在BC边上，舍去．
因此当t=8时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC相似．

点评：此题比较复杂，综合性比较强，把一次函数、平移、矩形及四边形相似、三角函数等多个知识结合在一起，解题一定要循序渐进，不急于求成，不过计算过程也比较多，对于学生的各方面的要求比较高．