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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB=7，CD=4，AD=4，动点P从点A以每秒1个单位的速度向点B运动，动点Q以每秒2个单位的速度由点B经点C向点D运动，当有一个点到达目标时，即停止运动．设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y．
    （1）求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；
    （1）当x为何值时，y的值最大；
    （2）是否存在点P，使得△BPQ为直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

    【答案】分析：（1）过C作CF⊥AB于F，推出四边形ADCF是矩形，得出DC=AF=4，AD=CF=4，求出BF=3，由勾股定理得求出BC=5，求出sinB=，cosB=，①当P在AB上，Q在BC上时，此时0＜x≤，过Q作QE⊥AB于E，得出AP=x，BQ=2x，BP=7-x，根据sinB即可求出QE=x，代入三角形的面积公式求出即可；②当P在AB上，Q在DC上时，此时＜x≤，代入三角形的面积公式求出即可；
    （2）求出每个函数式的最值即可；
    （3）分为两种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，此时只能是Q为直角顶点，根据cosB==，代入即可求出x；②当P在AB上，Q在CD上时，此时≤x≤，此时只能P为直角顶点，在Rt△BFC中，根据勾股定理得出52=42+（12-3x）2，求出x=3的值即可．
    解答：（1）解：过C作CF⊥AB于F，
    ∵梯形ABCD中，∠DAB=90°，
    ∴∠D=∠A=∠CFA=90°，
    ∴四边形ADCF是矩形，
    ∴DC=AF=4，AD=CF=4，
    ∴BF=7-4=3，
    在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=5，
    即sinB==，cosB==，
    ①当P在AB上，Q在BC上时，此时0＜x≤，
    过Q作QE⊥AB于E，
    ∵AP=x，BQ=2x，BP=7-x，
    ∴sinB==，
    ∴QE=x，
    由三角形的面积公式得：y=×BP×QE=×（7-x）×=-x2+x；
    ②当P在AB上，Q在DC上时，此时＜x≤（4+5=9），
    则y=BP×CF=×（7-x）×4=-2x+14；
    综合上述：y与x的关系式是：y=．

    （2）解：∵y=-x2+x=-+，
    又∵0＜x≤，
    ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=，
    ∴当x=时，y的值最大；
    ∵y═-2x+14（≤x≤），
    根据k=-2＜0知：y随x的增大而减小，即要使y最大，必须x最小，即x取时y最大；
    综合上述：当x=时，y的值最大．

    （3）解：
    分为两种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，此时0＜x≤，P在AF内，即只能是Q为直角顶点，
    cosB==，
    即=，
    x=；
    ②当P在AB上，Q在CD上时，此时≤x≤，
    此时只能P为直角顶点，CQ=2x-5=PF，BP=7-x，
    则BF=（7-x）-（2x-5）=12-3x，
    在Rt△BFC中，由勾股定理得：52=42+（12-3x）2，
    解得：x=3，x=5（5＞舍去），
    综合上述：存在点P，使得△BPQ为直角三角形，x的值是或3．
    点评：本题综合考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，二次函数的最值，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目具有一定的代表性，但是难度偏大，注意：一定要进行分类讨论．
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    精英家教网已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（　　）
    A、
    8
    		6
    3
    B、4
    		6
    C、
    8
    		2
    3
    D、4
    		2

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    5、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，那么，图中全等三角形共有
    3
    对．

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    10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO-EO=3，则BC-AD等于（　　）

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    精英家教网如图，梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，cosC=
    		2
    10
    ．
    （1）求BC的长；
    （2）试在边AB上确定点P的位置，使△PAD∽△PBC．

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    精英家教网如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5，AD=3，对角线AC⊥BD，且∠DBC=30°，求梯形ABCD的高．

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