Question

阅读材料：已知方程p²-p-1=0，1-q-q²=0且pq≠1，求

pq+1

q

的值．
解：由p²-p-1=0，及1-q-q²=0可知p≠0，q≠0又∵pq≠1，∴p≠

1

q

．
∵1-q-q²=0可变形为（

1

q

）²-（

1

q

）-1=0，根据p²-p-1=0和（

1

q

）²-（

1

q

）-1=0的特征．
∴p、

1

q

是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，则p+

1

q

=1，即

pq+1

q

=1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m²-5m-1=0，

1

n2

+

5

n

-2=0且m≠n，求下列各式的值：（1）

1

m

+

1

n

；（2）（m-n）²．

Answer 1

分析：由

1

n2

+

5

n

-2=0得到2n²-5n-1=0，根据题目所给的方法得到m、n是方程2x²-5x-1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到m+n=

5

2

，mn=-

1

2

，
（1）通分得到原式=

m+n

mn

，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式变形得到原式=（m+n）²-4mn，然后利用整体代入的方法计算．

解答：解：∵

1

n2

+

5

n

-2=0，
∴2n²-5n-1=0，
根据2m²-5m-1=0和2n²-5n-1=0的特征，
∴m、n是方程2x²-5x-1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=

5

2

，mn=-

1

2

，
（1）原式=

m+n

mn

=

5 2

- 1 2

=-5；
（2）原式=（m+n）²-4mn=（

5

2

）²-4×（-

1

2

）=

33

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．