Question

20．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H；
（1）求证：△ABH∽△ECM；
（2）设BE=x，$\frac{EH}{EM}=y$，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的四个角为直角，得到∠ABC为直角，再由BG垂直于AC，AE垂直于EF，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用外角性质得到另一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）延长BG，交AD于点K，利用两角相等的三角形相似得到三角形ABK与三角形ABC相似，由相似得比例求出AK的长，由AK与BE平行，得到三角形AHK与三角形BHE相似，表示出EH，由第一问的结论，利用相似三角形对应边成比例表示出$\frac{AH}{EM}$，即可确定出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；
（3）当△BHE为等腰三角形时，分三种情况考虑：①当BH=BE时，利用等腰三角形的性质，角平分线定义及锐角三角函数定义求出BE的长；②当HB=HE时，利用等腰三角形的性质及锐角三角函数定义求出BE的长；③当EB=EH时，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出BE的长即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠ABG+∠CBG=90°，
∵EF⊥AE，BG⊥AC，
∴∠AEF=∠BGA=90°，
∴∠AEF=∠ABC，∠ACB+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠ACB，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，即∠AEF+∠CEF=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠ABG=∠ACB，
∴△ABH∽△ECM；
（2）解：延长BG交AD于点K，

∵∠ABG=∠ACB，
又∵在矩形ABCD中，∠BAK=∠ABC=90°，
∴△ABK∽△BCA，
∴$\frac{AK}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AK}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴AK=$\frac{9}{2}$，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，且BE=x，
∴$\frac{BE}{AK}$=$\frac{EH}{AH}$=$\frac{2x}{9}$，
∴EH=$\frac{2x}{9}$•AH，
∵△ABH∽△ECM，
∴$\frac{AH}{EM}$=$\frac{AB}{EC}$=$\frac{6}{8-x}$，
∵$\frac{EH}{EM}$=y，
∴y=$\frac{\frac{2x}{9}•AH}{EM}$=$\frac{2x}{9}$•$\frac{AH}{EM}$=$\frac{2x}{9}$•$\frac{6}{8-x}$=$\frac{4x}{24-3x}$（0＜x＜8）；
（3）解：当△BHE为等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当BH=BE时，则有∠BHE=∠BEH，
∵∠BHE=∠AHG，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ABC=∠BGA=90°，
∴∠BEH+∠BAE=∠AHG+∠EAM=90°，
∴∠BAE=∠EAM，即AE为∠BAC的平分线，
过点E作EQ⊥AC，垂足为Q，如图2所示，

则EQ=EB=x，CE=8-x，
∵sin∠ACB=$\frac{EQ}{EC}$=$\frac{x}{8-x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=3，即BE=3；   
②当HB=HE时，则有∠HBE=∠HEB，
∵∠ABC=∠BGC=90°，
∴∠BAE+∠HEB=∠BCG+∠HBE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
∴tan∠BAE=tan∠BCA=$\frac{x}{6}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{9}{2}$，即BE=$\frac{9}{2}$；
③当EB=EH时，则有∠EHB=∠EBH，
又∵∠EHB=∠AHG，
∴∠AHG=∠EBH，
∵∠BGA=∠BGC=90°，
∴∠CAE+∠AHG=∠BCG+∠EBH=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
∴EA=EC=8-x，
∵在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即6²+x²=（8-x）²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，即BE=$\frac{7}{4}$，
综上所述，当△BHE是等腰三角形时，BE的长为3或$\frac{9}{2}$或$\frac{7}{4}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线等分线段定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．