Question

【题目】如图，AB是的直径，点E是的中点，CA与相切于点A交BE延长于点C，过点A作于点F，交于点D，交BC于点Q，连接BD．

（1）求证：；

（2）若，求CQ的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据直径可得∠ADB=90°，由E是弧AB的中点得∠ABE=45°，由相切的性质得∠BAC=90°，可推出△ABD≌△ACF ，即可得到结果．

（2）根据条件可证明△BDQ∽△CFQ，可得到，即可求出结果．

证明：(1) ∵ AB是⊙O的直径，

∠ADB=90°，

∵点E是弧AB的中点，

∠ABE=45°，

∵CA与⊙O相切于点A，

∠BAC=90°，

AB=AC，

∵AD⊥OC于点F，

∠AFC=∠ADB=90°，

∵∠FAC+∠BAD=90°，∠FAC+∠ACF=90°，

∠BAD=∠ACF.△ABD≌△ACF，

∴BD=AF．

(2) ∵BD=2，

AF=BD=2，

∵AD⊥OC于点F，

AD=2AF=4=CF，

Rt△ABD中，AB=，

Rt△ABC中，BC=，

∵∠AFC=∠ADB=90°，∠FQC=∠DQB，

△BDQ∽△CFQ，

，

CQ=2BQ，

CQ=．