Question

如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函数的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值．
（2）当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，进而可得S关于m、n的关系式，结合二次函数的性质计算可得答案；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，可得关系式，解可得答案．
解答：解：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，
所以S=mn，
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=n（10-n）=-n²+5n，
=-（n-5）²+，
∵-，
∴当n=5时，S取最大值．  

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得：，
解得：，b=n，
所以直线AB的函数关系式为．       
过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，
当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，
有S_△AOC=S_△AOB，即OA×CF=×OA×OB，
所以CF=OB=n．                           
即C点的纵坐标为n．
将n代入，得．              
将、n代入直线的函数关系式，
得n=-3+n，
所以n=．
点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．