Question

8．如图，已知点D是等腰直角△ABC斜边AB的中点，M是边BC上的点，将△DBM沿DM折叠，点B的对称点E落在直线AC的左侧，EM交边AC于点F，ED交边AC于点G．若△FCM的周长为16，则斜边AB的长为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 16$\sqrt{2}$
• D． 32$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先由等腰直角三角形的性质可知∠A=∠B=45°，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可知：CD=BD=AD，∠ACD=45°，然后由折叠的性质可知：DB=DE，∠DEM=45°，从而可证明∠FEC=∠FCE．于是可得到EF=FC，然后结合折叠的性质可证明BC=16，最后利用勾股定理可求得AB的长．

解答 解：如图，连接CD、DF、CE．

∵点D为AB的中点，∠C=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=BD
．由折叠的性质可知：BD=DE，
∴CD=ED．
∴∠DCE=∠DEC．
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵CD=DB，
∴∠DCB=45°．
∴∠ACM=45°
由折叠的性质可知：∠DEM=∠DBM=45°，EM=BM，
∴∠FEC=∠FCE．
∴EF=FC．
△FCM的周长=FC+FM+CM=FE+FM+CM=EM+CM=MB+CM=CB，
∴BC=16．
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{1{6}^{2}+1{6}^{2}}$=16$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是折叠的性质、等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理的应用，证得三角形FCM的周长等于BC是解题的关键．