Question

在1～100之间若存在整数n，使x²+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n有

9

个．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系，可设x²+x-n=（x+a）（x+b），即可得a+b=1，ab=-n，可得a，b符号相反，且a，b的绝对值是相邻的两个数，然后由小到大分类讨论即可求得．解题时注意不要漏解．

解答：解：∵使x²+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积，
∴设x²+x-n=（x+a）（x+b），
∴a+b=1，ab=-n，
可得：a，b符号相反，且a，b的绝对值是相邻的两个数，
∴若a=-1，b=2，可得n=2，
若a=-2，b=3，可得n=6，
若a=-3，b=4，可得n=12，
若a=-4，b=5，可得n=20，
若a=-5，b=6，可得n=30，
若a=-6，b=7，可得n=42，
若a=-7，b=8，可得n=56，
若a=-8，b=9，可得n=72，
若a=-9，b=10，可得n=90，
若a=-10，b=11，可得n=110，不符合题意，舍去．
∴可得这样的n有9个．

点评：此题考查了一元二次方程中根与系数的关系．解题时注意分类讨论思想的应用，小心不要漏解．