Question

新知认识：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示，如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）特殊验证：如图1，在△ABC中，若a=，b=1，c=2．求证：△ABC为倍角三角形﹔
（2）模型探究：如图2，对于任意的倍角三角形，若∠A=2∠B．求证：a²=b（b+c）﹔
（3）拓展应用：在△ABC中，若∠C=2∠A=4∠B．求证：．

Answer 1

证明：（1）如图1，∵a=，b=1，c=2．
∴c²=a²+b²，c=2b
∴∠C=90°，
∴∠B=30°，
∴∠A=2∠B=60°．
∴△ABC为倍角三角形；

（2）∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得===2R，
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC），
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）；

（3）∵在△ABC中，若∠C=2∠A，
∴由（2）中的结论知c²=a（a+b）；
∵2∠A=4∠B，即∠A=2∠B，
∴a²=b（b+c），
∴．
分析：（1）利用勾股定理的逆定理求得△ABC为直角三角形，然后根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得三角形的三个内角，所以根据“倍角三角形”的定义进行证明即可；
（2）根据已知表示各角的度数，再根据正弦定理对式子进行整理，从而得到结论；
（3）利用（2）中的结论进行证明．
点评：本题考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的内容，综合考察的知识点较多，难度较大，解答本题需要同学们能活学活用．