Question

如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于点C、D，过点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于点E、F．求证：BE=BF．

Answer 1

分析：连接BC、BA、BD．由圆的切线、割线定理、弦切角定理、平行线的性质可得∠ABC=∠PAC=∠E，则推出△ABC∽△AEB，得出相关边的比，然后可得∠ABF=∠PAB=∠ADB，所以△ABF∽△ADB，得出相关边的比，结合切线定理可得结论．

解答：证明：如图，连接BC、BA、BD．所以∠ABC=∠PAC=∠E，则△ABC∽△AEB．
从而，

BE

BC

=

AB

AC

，即BE=

AB•BC

AC

=AB•

BC

AC

①，
∵PA∥EF，PA是圆的切线，
∴∠ABF=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF∽△ADB，从而

BF

BD

=

AB

AD

，
即BF=

AB•BD

AD

=AB•

BD

AD

②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴

BC

BD

=

PC

PB

，

AC

AD

=

PC

PA

．
∵PA、PB是过圆外一点P作的圆的两条切线，
∴PA=PB，
∴

BC

BD

=

AC

AD

，于是

BC

AC

=

BD

AD

③，
∴由式①、②、③即知BE=BF．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质定理、圆的切线、割线定理、弦切角定理、平行线的性质，本题的关键在于根据弦切角定理、平行线的性质求出角的相等关系，得出相似三角形，求出比例关系．