Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）已知点A（3，1），连接OA，平移线段OA，使点O落在点B．设点A落在点C，作如下探究：
探究一：若点B的坐标为（1，2），请在图1中作出平移后的像，则点C的坐标是；连接AC，BO，请判断O，A，C，B四点构成的图形的形状，并说明理由；
探究二：若点B的坐标为（6，2），按探究一的方法，判断O，A，B，C四点构成的图形的形状．
（温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！）
（2）通过上面的探究，请直接回答下列问题：
①若已知三点A（a，b），B（c，d），C（a+c，b+d），顺次连接O，A，C，B，请判断所得到的图形的形状；
②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a，b，c，d应满足的关系式．

Answer 1

解：

（1）探究一：C（4，3），
四边形OACB为平行四边形，
理由如下：
由平移可知，OA∥BC，且OA=BC，
所以四边形OACB为平行四边形．
探究二：线段

（2）①平行四边形或线段；
②菱形：a²+b²=c²+d²（a=-c，b=-d除外）
正方形：a=d且b=-c或b=c且a=-d．

分析：（1）由题意和图象可知：OA应该右移三个单位，上移两个单位后得出的C因此，C的坐标是（4，3）．因为是平移所以AO=BC，AO∥BC，所以四边形OACB是平行四边形．当B是（6，2）的时候，OAB三点在直线y=x上，因此OABC是条线段．
（2）①同（1）应该是平行四边形或线段两种情况．
②当OACB是菱形时，两条邻边应该相等，AC=BC，因此=，因此a²+b²=c²+d²，
当OACB是正方形的时候．如果过B作BE⊥x轴，过A作AF⊥x轴，那么三角形BOE≌三角形AOF．AF=OE，OF=BE，即A点的横坐标的绝对值=B点的横坐标的绝对值，A点的纵坐标的绝对值=B点的纵坐标的绝对值，即a=d且b=-c或b=c且a=-d．
点评：本题考查图形的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．