Question

如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）设AC和DE交于点M，若AD=6，BD=8，求ED与AM的长．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形性质求出AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠DCE=90°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS证出即可；
（2）根据全等求出AE=BD=8，∠EAC=∠B，求出∠EAD=90°，根据勾股定理求出DE即可；过C作CN⊥ED于N，过A作AG⊥DE于G，根据三角形的面积公式求出AG，根据直角三角形性质求出DN，求出NG、CN，根据AG∥CN得出比例式，求出MG，在△AGM中，根据勾股定理求出AM即可．

解答：（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD．

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=8，∠EAC=∠B，
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠EAB=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：DE=

62+82

=10，
过C作CN⊥ED于N，过A作AG⊥DE于G，
∴AG∥CN，
在△AED中，由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，
∴AG=

6×8

10

=

24

5

，
在Rt△CED中，CE=CD，∠ECD=90°，CN⊥DE，
∴EN=DN=

1

2

DE=5，
在△DGA中，由勾股定理得：DG=

AD2-AG2

=

18

5

，
∴NG=5-

18

5

=

7

5

，
∵AG∥CN，
∴

GM

MN

=

AG

CN

=

24 5

5

=

24

25

，
∴

MG

7 5 -MG

=

24

25

，
∴MG=

24

35

，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM=

AG2+GM2

=

( 24 5 )2+( 24 35 )2

=

24

7

2

，即AM=

24

7

2

．

点评：本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．