Question

【题目】（1）如图（a）所示点D是等边边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．

（2）如图（b）所示当动点D运动至等边边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）

（3）①如图（c）所示，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边和等边，连接AF、，探究AF、与AB有何数量关系？并证明．

②如图（d）所示，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF=BD，成立；（3）①，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可证得，然后由全等三角形的对应边相等知 ．

（2）通过证明，即可证明．

（3）① ，利用全等三角形的对应边 ，同理 ，则 ，所以；

②①中的结论不成立，新的结论是 ，通过证明，则（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得 ．

（1）

证明如下：是等边三角形，

，．

同理可得：，．

．

即．

．

．

（2）证明过程同（1），证得，则（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，依然成立．

（3）①

证明：由（1）知，．

．

同理．

．

．

②①中的结论不成立新的结论是；

，，，

．

．

又由（2）知，．

．

即．