Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）. 若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交线段DA于点H、G.

（1） 求证：PG=PF；

（2） 探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）结论： ，证明见解析.

【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，

∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，

由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°，

∴∠GPH=∠FPD ，

∵∠HPD=90°，∠ADP=45°，

∴△HPD为等腰直角三角形 ，

∴∠DHP=∠PDF=45°且PH=PD ，

∴△HPG≌△DPF ，

∴PG=PF ；

（2）结论： ，

∵△HPD为等腰直角三角形，

∴ HD2=2，

∴，

∵△HPG≌△DPF，

∴DF=HG，

∴，

∴.