Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足

a+3

+(p+1)2=0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②

AO-EF

2DP

的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；
（3）根据点B的横坐标为-2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据△DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值．

解答：解：（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，
解得a=-3，p=-1，
∴点A、P的坐标分别为A（0，-3）、P（-1，0），
设直线AP的解析式为y=mx+n，
则

n=-3 -m+n=0

，
解得

m=-3 n=-3

，
∴直线AP的解析式为y=-3x-3；

（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），
设直线AQ的解析式为y=kx+c，
则

c=-3 k+c=0

，
解得

k=3 c=-3

，
∴直线AQ的解析式为y=3x-3，
设点S的坐标为（x，3x-3），
则SR=

(x-0)2+(3x-3-2)2

=

x2+(3x-5)2

，
SA=

(0-x)2+(-3-3x+3)2

=

x2+9x2

，
∵SR=SA，
∴

x2+(3x-5)2

=

x2+9x2

，
解得x=

5

6

，
∴3x-3=3×

5

6

-3=-

1

2

，
∴点S的坐标为S（

5

6

，-

1

2

），
设直线RS的解析式为y=ex+f，
则

f=2 5 6 e+f=- 1 2

，
解得

e=-3 f=2

，
∴直线RS的解析式为y=-3x+2；

（3）∵点B（-2，b），
∴点P为AB的中点，
连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=

1

2

AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠CPG=∠PAO，
在△APO与△PCG中，

∠CPG=∠PAO ∠AOP=∠PGC=90° PC=AP

，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x轴，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG与△EDF中，

∠CDG=∠DEF ∠EFD=∠CGD=90° CD=DE

，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG-DG=3-EF，
①2DP+EF=2（3-EF）+EF=6-EF，
∴2DP+EF的值随点P的变化而变化，不是定值，
②

AO-EF

2DP

=

3-EF

2(3-EF)

=

1

2

，

AO-EF

2DP

的值与点D的变化无关，是定值

1

2

．

点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．