Question

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.

(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；

(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围。

Answer 1

解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°   

在△ABE中，AB＝6

BC=BE=

CD=BCtan30°=4

∴OD=OC-CD=2

∴B(，6)   D(0,2)

设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b

   ∴ 

所以BD所在直线的函数解析式是

(2)∵EF=EA=ABtan30°=   ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°

又∵FG⊥OA     

∴FG＝EFsin60°=3       GE=EFcos60°=   OG=OA-AE-GE=

又H为FG中点

∴H（，）                                          

∵B(，6) 、  D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上

      ∴  

∴抛物线的解析式是

(2)∵MP=

MN=6-

H=MP-MN=

由得

该函数简图如图所示：

当0<x<时,h<0，即HP<MN

当x=时，h=0，即HP=MN

当<x<时，h>0，即HP>MN