Question

如图（1），AB是⊙O的直径，且AB=10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若AD和⊙O相切于点A，求AD的长；
（3）若把直线EF向上平行移动，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，推出∠OCA=∠OAC，根据平行线的性质和判定和切线性质得出∠DAC=∠OCA，即可得出答案；
（2）推出四边形OADC是正方形，推出OA=AD，即可得出答案；
（3）连接BC推出∠ADC=∠BCA=90°，根据三角形的内角和定理推出∠DAC=∠BCG=∠BAG．
解答：
（1）证明：连接OC，如图（1），
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC．

（2）解：连接OC，如图（3），
∵AD切⊙O于A，
∴OA⊥AD，
∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°，
∴四边形OADC是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形OADC是正方形，
∴AD=OA，
∵AB=2OA=10，
∴AD=OA=5．

（3）解：存在∠BAG=∠DAC，
理由是：连接BC，如图（2），
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCG，
∵圆周角∠BAG和∠BCG都对弧BG，
∴∠BCG=∠BAG，
∴∠BAG=∠DAC．
点评：本题考查了切线的性质，矩形的判定，正方形的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．