Question

如图，已知直线y=x与二次函数y=x²+bx+c的图象交于点A、O，（O是坐标原点），点P为二次函数图象的顶点，OA=，AP的中点为B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求线段OB的长；
（3）若射线OB上存在点Q，使得△AOQ与△AOP相似，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A在直线y=x上，且OA=3，
∴A点的坐标是（3，3，）
∵点O（0，0），A（3，3）在函数y=x²+bx+c的图象上，
∴，
解得：，
故二次函数的解析式是y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴顶点P的坐标为（1，-1）
∴PO==，AP=2，
∴AO²+PO²=AP²，
∴∠AOP=90°，
∴△AOP是直角三角形，
∵B为AP的中点，
∴OB=；

（3）∵∠AOP=90°，B为AP的中点，
∴OB=AB，
∴∠AOB=∠OAB，
若△AOQ与△AOP相似，
则①△AOP∽△OQA时，
∴，
∴OQ₁=；
②△AOP∽△OAQ时，
∴，
∴OQ₂=2，
∵B点的坐标为（2，1），
∴Q₁（，），Q₂（4，2）
即点Q的坐标分别是Q₁（，），Q₂（4，2）．
分析：（1）由点A在直线y=x上，可知A的横纵坐标相等，又因为OA=3，所以可以求出A的坐标，再把O和A的坐标代入y=x²+bx+c，求出b和c的值即可求出函数的解析式；
（2）用配方法求出顶点P的坐标，再利用勾股定理求出OP的长和AP的长，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形状，进而求出OB的长；
（3）若△AOQ与△AOP相似，则①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出满足题意的OQ值即可．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标、勾股定理以及逆定理的运用以及相似三角形的判定和性质，解题时也要注意分类讨论数学思想的运用，题目的综合性很强，难度中等．