Question

已知函数y=x²+（b-1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0）和B（x₂，0）．若x₁，x₂满足x₂-x₁＞1；
（1）求证：b²＞2（b+2c）；
（2）若t＜x₁，试比较t²+bt+c与x₁的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）首先利用求根公式求出x的值，再由x₂-x₁＞1求解；
（2）已知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂）推出（t-x₁）（t-x₂+1）．根据t＜x₁推出答案．

解答：证明：（1）∵令y=x²+（b-1）x+c中y=0，
得到x²+（b-1）x+c=0，
∴x=

-(b-1)± (b-1)2-4c

2

，又x₂-x₁＞1，
∴

(b-1)2-4c

＞1，
∴b²-2b+1-4c＞1，
∴b²＞2（b+2c）；

（2）由已知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），
∴x²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴t²+bt+c=（t-x₁）（t-x₂）+t，
t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t-x₂+1），
∵t＜x₁，
∴t-x₁＜0，
∵x₂-x₁＞1，
∴t＜x₁＜x₂-1，
∴t-x₂+1＜0，
∴（t-x₁）（t-x₂+1）＞0，
即t²+bt+c＞x₁．

点评：综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识．