Question

【题目】在平面直角坐标系中，过一点分别作轴，轴的垂线，若其与两坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图1中过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，矩形的周长为，面积也为，则点是和谐点．

请根据以上材料回答下列问题：

（1）若点是和谐点，则______；

（2）若第一象限内的点与点均为和谐点，求的值；

（3）如图2，若点为和谐点，且在直线上，求所有满足条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）满足条件的点分别是或．

【解析】

（1）根据题意列出关于a的方程，再解方程即可解答；

（2）利用和谐点定义列出方程组，求出方程组的解，然后再代入即可解答；

（3）设P（c，c+3），利用和谐点定义列出方程，分类讨论x的范围并求x的值，即可确定出P坐标．

（1）根据题意得：2（|a|+5）=5|a|，

解得：a=或；

故答案为或；

（2）第一象限内的点与点均为和谐点，

化简并整理得．

（3）直线与轴的交点为，设点坐标为．

根据题意有，

①当时，方程为．

整理得．

解得，（舍去）．

．

②当时，方程为．

整理得．

此方程无解．

③当时，方程为．

整理得．

解得，（舍去）．

．

综上所述，满足条件的点分别是或．