Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．

（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．

①当点P与点A重合时，∠DEF=　　　　°，当点E与点A重合时，∠DEF=　　　　°．

②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．

（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．

（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①90，45；②；（2） 0.6；（3）1．

【解析】

（1）①当点与点重合时，是的中垂线，可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分；

②如图3中，证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可；

（2）连接，由折叠性质可证，设．根据全等性质用x表示出线段关系，再由中可列方程求解；

（3）如图，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以．

解：（1）①当点与点重合时，

是的中垂线，

，

当点与点重合时，

此时，

故答案为：90，45．

②如图2中，设与交于点，由折叠知垂直平分．

，，

矩形，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形，

当时，设菱形边长为，则，

在中，，

，

菱形的周长．

（2）如图3中，连接，设．

由折叠知，，，

，，

，

，

，，

在中，

解得．

．

（3）如图中，连接，，．

，，

，此时的最小值，

，

，

当与重合时，的值最小，由折叠得：，

由勾股定理得：，

，

当，，共线时，有最小值，

，

则的最小值是1．