Question

已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求

AP

PC

的值；
（2）如图2，当OA=OB，且

AD

AO

=

1

4

时，求tan∠BPC的值．
（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：2

n

时，直接写出tan∠BPC的值．

Answer 1

分析：（1）过D作BO的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△PDE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根据C是BO的中点，可以求出PE：PC=1：2，再根据三角形中位线定理，点E是AC的中点，利用比例变形即可求出AP与PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=

3

5

AC，再过D作DF⊥AC于F，设AD为a，利用勾股定理求出AC等于2

5

a，再利用相似三角形对应边成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC与∠FPD是对顶角，所以其正切值便可求出．
（3）根据（2）的方法，把相应数据进行代换即可求出．

解答：
解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，
∵D为OA中点，
∴AE=CE=

1

2

AC，

DE

CO

=

1

2

，
∵点C为OB中点，
∴BC=CO，

DE

BC

=

1

2

，
∴

PE

PC

=

DE

BC

=

1

2

，
∴PC=

2

3

CE=

1

3

AC，
∴

AP

PC

=

AC-PC

PC

=

2 3 AC

1 3 AC

=2；

（2）过点D作DE∥BO交AC于E，
∵

AD

AO

=

1

4

，
∴

DE

CO

=

AE

AC

=

1

4

，
∵点C为OB中点，
∴

DE

BC

=

1

4

，
∴

PE

PC

=

DE

BC

=

1

4

，
∴PC=

4

5

CE=

3

5

AC，
过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，
∵OA=OB，点C为OB中点，
∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC=

AO2+CO2

=

(4a)2+(2a)2

=2

5

a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴

AF

AO

=

DF

CO

=

AD

AC

=

a

2 5 a

，
∴AF=

2 5

5

a，DF=

5

5

a，
PF=AC-AF-PC=2

5

a-

2 5

5

a-

3

5

×2

5

a=

2 5

5

a，
tan∠BPC=tan∠FPD=

DF

PF

=

1

2

．

（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=

n+1

n+1

a，
PF=

n2+n

n+1

a，所以tan∠BPC=

n

n

．

点评：本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力．