Question

如图，C（0，3），过点C开口向下的抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右边），已知∠CBA=45°，tanA=3；
（1）求A、B两点坐标；
（2）求抛物线解析式及抛物线顶点D的坐标；
（3）E（0，m）为y轴上一动点（不与点C重合）
①当直线EB与△BCD外接圆相切时，求m的值；
②指出点E的运动过程中，∠DEC与∠DBC的大小关系及相应m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据C点的坐标可以求出OC的长度，根据CO的长度和∠CBA=45°，tanA=3通过解直角三角形可以得出OB、OA的长度从而求出A、B的坐标．
（2）根据A、B、C的坐标，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后转化为顶点式就可以求出顶点坐标D．
（3）①通过勾股定理可以证明△BDC为直角三角形，当直线EB与△BCD外切时EB⊥BD，利用三角形相似可以求出OE的长来确定E点的坐标而确定m的值．
②通过情况讨论当点E在C点的上方和下方来分别计算比较，∠DEC与∠DBC的大小，确定相应的m的取值范围．

解答：解：（1）∵C（0，3）
∴OC=3
∵∠CBA=45°
∴OC=OB=3
∵tanA=3
∴

OC

OA

=3，即

3

OA

=3
∴OA=1
∴A（1，O），B（-3，0）

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3）
把C（0，3）代入得-3a=3
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3）
y=-x²-2x+3
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4
∴D（-1，4）

（3）①作DH⊥y轴于H，则DH=1，CH=OH-OC=1
由勾股定理得：CD=

2

，CD²=2
在△BOC中，由勾股定理得，BC=

2

OC
∴BC=3

2

，BC²=18
在Rt△BDF中，BF=BO-OF=2，DF=4，由勾股定理得；
BD=2

5

∴DB²=20
在△BCD中∴CD²+BC²=DB²
∴△BCD是直角三角形．
∴BD是△BCD的外接圆的直径
∵BE与△BCD的外接圆相切
∴BE⊥BD
∴∠DBE=90°
∴∠EBO=∠BDF
∴△BDF∽△EBO
∴

OE

BF

=

OB

DF

即

OE

2

=

3

4

∴OE=

3

2

∴E（0，-

3

2

）
即m=-

3

2

②当点E在C点的上方时，当∠DEC=∠DBC时，
∵∠DHE=∠DCB=90°
∴△DEH∽△DBC
∴

EH

DH

=

BC

DC

=3
∴EH=3，OE=EH+HO=7
∴E（0，7）
∴当m=7时，∠DEC=∠DBC
当m＞时，∠DEC＜∠DBC
当m＜7时，∠DEC＞∠DBC
点E在C下方时，同理可得当∠DEC=∠DBC时，EH=3
∴此时OE=4-3=1
∴E（0，1）
∴当m=1时，∠DEC=∠DBC
当1＜m＜3时，∠DEC＞∠DBC
当m＜1时，∠DEC＜∠DBC
综上所述得：m＞7或m＜1时，∠DEC＜∠DBC
m=7或m=1时，∠DEC=∠DBC
1＜m＜7且m≠3时，∠DEC＞∠DBC

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用解直角三角形求线段的长度来求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，顶点式的运用，勾股定理及其逆定理的运用，相似三角形的判定及性质，圆的切线的性质等多个知识点．