Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AD与抛物线y=-x²+bx+c交于A（-1，0）和D（2，3）两点，点C、F分别为该抛物线与y轴的交点和顶点．
（1）试求b、c的值和抛物线顶点F的坐标；
（2）求△ADC的面积；
（3）已知，点Q是直线AD上方抛物线上的一个动点（点Q与A、D不重合），在点Q的运动过程中，有人说点Q、F重合时△AQD的面积最大，你认为其说法正确吗？若你认为正确请求出此时△AQD的面积，若你认为不正确请说明理由，并求出△AQD的最大面积．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过点A、D，
∴，
∴b=2，c=3，C（0，3），
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴顶点F（1，4）；

（2）如图1，∵直线AD也过A、D两点，
∴，
∴k=1，b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1，直线AD与y轴的交点E为（0，1），
则CE=3-1=2，
又∵点A、D分别到y轴的距离为1，2，
∴S_△ADC=S_△ACE+S_△DCE=×1×2+×2×2=3；

（3）其说法不正确．
如图2，过Q作QP∥y轴交直线AD于P，则Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），
∴PQ=-x²+2x+3-x-1=-x²+x+2，
又∵点A、D分别到直线PQ的距离和为3．
∴S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP=×PQ×3=×（-x²+x+2）×3=-x²+x+3，
S_△AQD=-（x-）²+，
∴当x=时，S_△AQD的最大值是，
又∵F（1，4），当x=1时，代入直线AD的解析式y=x+1得：y=2，
∴S_△APD=×3×（4-2）=3，
∵＞3，
∴点Q、F重合时△AQD的面积最大的说法不正确，△AQD面积的最大值为．
分析：（1）把A、D的坐标代入即可求出抛物线的解析式，根据解析式求出顶点坐标即可；
（2）求出直线AD的解析式，求出直线AD于y轴的交点坐标，即可求出三角形面积；
（3）过Q作QP∥y轴交直线AD于P，则Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），求出PQ═-x²+x+2，根据点A、D分别到直线PQ的距离和为3和S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP代入求出△AQD的面积，再求出△APD的面积，比较即可．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，函数与坐标轴的交点坐标的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．