Question

23、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF=BD；
（2）如果AB=AC，试证明：四边形AFBD为矩形．

Answer 1

分析：（1）由于E是AD中点，则AE=DE，而AF∥BC，那么∠FAE=∠CDE，又∠AEF=∠DEC，利用ASA可证△AFE≌△DCE，于是有AF=CD，又AD是中线，则BD=CD，等量代换有AF=BD；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

解答：（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，（1分）
又∵AF∥BD，
∴∠FAE=∠CDE，（2分）
又∵∠FEA=∠CED，
∴△AFE≌△DCE，（3分）
∴AF=CD，
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，（4分）
∴AF=BD；（5分）

（2）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，（6分）
又∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，（7分）
∴四边形AFBD为矩形．（8分）

点评：本题利用了中点定义、平行线的性质、等量代换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、平行四边形的判定、矩形的判定．