Question

（本题12分）如图8,在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE=∠EAF，求证：AE=BE；
（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM=MN（如图9）.
求证：∠EAF=2∠BAE.

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠ABE =∠ADF，————————————（2分）
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB =∠AFD，————————————————（1分）
∴△ABE≌△ADF. ————————————————（1分）
（2）∵菱形ABCD，
∴AB‖CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF=,又∠BAE=∠EAF，
∴∠BAE=，∠AEB=,———————————（2分）
∴∠B==∠BAE，———————————————（1分）
∴AE="BE." ———————————————————（1分）
(3) ∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE =∠DAF，AB=AD，
∴∠ABM =∠ADN，
∴△ABM≌△ADN.
∴AM =AN，———————————————————（1分）
又∵∠BAN=, BM=MN，
∴AM=MN=AN，
∴∠MAN=,——————————————————（1分）
∴∠MAB=,——————————————————（1分）
∴∠EAF=2∠BAE. ————————————————（1分）

略