Question

如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O₁和O₂分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为

 

，线段O₁O₂的长为

 

．

Answer 1

分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O₁O₂的长根据勾股定理求解．

解答：解：做O₁H∥AE，使O₂H⊥O₁H，交BG于P，K点，
（1）BP=

1

2

a，
又∵O₂H⊥HO₁，
∴KP∥HO₂，
∴△PKO₁∽△HO₂O₁，
∴

KP

HO2

=

PO1

HO1

=

a

a+b

，
KP=

a

a+b

×

b-a

2

=

ab-a2

2(a+b)

，
阴影部分的面积=

1

2

×BK×（

a+b

2

）=

1

2

×[

a

2

+

ab-a2

2(a+b)

]×

a+b

2

=

2ab

8

=

ab

4

；

（2）HO₁=

a+b

2

，HO₂=

b-a

2

，
根据勾股定理O₁O₂=

HO12+HO22

=

a2+b2 2

=

1

2

2(a2+ b2)

．
故答案为：

ab

4

；

1

2

2(a2+ b2)

．

点评：本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO₁O₂．