Question

【题目】阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．

请你解决下列问题：

（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．

（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．

【解析】

（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．

（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．

解：（1）存在

假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，

由①，得：，③

把③代入②，得，

解得，．

所以“减半”矩形长和宽分别为与．

（2）不存在

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，

所以正方形不存在“减半”正方形．