Question

【题目】如图，已知抛物线经过，，对称轴为直线．

（1）求该抛物线和直线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值；

（3）设P点是直线上一动点，为抛物线上的点，是否存在点，使以点、、P、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点坐标，不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），当时，有最大值为4；（3）存在，坐标或或．

【解析】

（1）根据抛物线的对称性求得点B坐标，然后利用待定系数法分别求函数解析式即可；

（2）设点坐标，过作轴，交直线于点，则坐标为，然后根据三角形面积公式求得，从而用二次函数的性质求得其最值；

（3）利用平行四边形的性质，分四边形CPMB是平行四边形时，BN=PK=1；四边形CMPB是平行四边形时，CN=BO-1=3；四边形CPBM是平行四边形时，BN=OP=1三种情况确定M点横坐标，从而代入二次函数解析式求M点坐标．

解：（1）∵，对称轴为直线．

∴

设二次函数解析式为

将C（0，2）代入解析式，得，解得

∴

∴抛物线解析式为：，

设直线BC的解析式为

将B（4，0）、C（0，2）代入解析式，得

，解得

∴直线解析式为

（2）过作轴，交直线于点，

设点坐标，则坐标为

∴

∴

∵a=-1＜0

∴当时，有最大值为4．

（3）存在

设M点坐标为

如图，过点M作MN⊥x轴，过点P作PK⊥y轴，

①当四边形CPMB是平行四边形时，BN=PK=1

∴a=5

∴

∴此时M点坐标为（5，-3）

②当四边形CMPB是平行四边形时，CN=BO-1=3

∴a=-3

∴

∴此时M点坐标为（-3，-7）

③当四边形CPBM是平行四边形时，BN=OP=1

∴a=3

∴

∴此时M点坐标为（3，2）

综上所述，坐标为或或．