Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，BC=，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°．

（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得求出AE，EC，再根据sin∠A=sin∠EDH，得到，求出DE即可．

试题解析：连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DCE，∴∠AEO=∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∠OCF=90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切线．

（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH=∠A，∵DE=DC，∴EH=HC=EC，∵⊙O的半径为5，BC=，∴AB=10，AC=，∵△AEO∽△ABC，∴，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=，∴EH=EC=，∵∠EDH=∠A，∴sin∠A=sin∠EDH，∴，∴DE===．