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    观察下列各式：
    （a-1）（a+1）=a2-1
    （a-1）（a2+a+1）=a3+a2+a-a2-a-1=a3-1
    （a-1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a2+a-a3-a2-a-1=a4-1
    根据观察的规律，解答下列问题：
    （1）填空：
    ①（a-1）（
     
    ）=a6-1；
    ②（a-1）（a11+a10+…+a+1）=
     
    ；
    ③（a-1）（an+an-1+an-2+…+a+1）=
     
    ．
    （2）已知：1+22+24+26+…+22006+22008+22010=
    1
    3
    ×41006-
    1
    3

    求：2+23+25+27+…+22007+22009的值．
    分析：（1）本题需先根据已知条件，找出其中的规律，即可求出把①②③的答案．
    （2）本题需先根据所给的条件，先算出1+2+22+23+24+…+22008+22009+22010的值，即可求出本题的答案．
    解答：解：（1）∵a-1）（a+1）=a2-1，
    （a-1）（a2+a+1）=a3+a2+a-a2-a-1=a3-1，
    （a-1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a2+a-a3-a2-a-1=a4-1，
    ∴①a5+a4+a3+a2+a+1；
    ②a12-1；
    ③an+1-1；
    （2）解：因为（2-1）（1+2+22+23+24+…+22008+22009+22010）=22011-1，
    即1+2+22+23+24+…+22008+22009+22010=22011-1．
    而1+22+24+26++22006+22008+22010=
    1
    3
    ×41006-
    1
    3
    ，
    所以2+23+25+27++22007+22009=21011-1-(
    1
    3
    ×41006-
    1
    3
    )
    =22011-
    1
    3
    ×41006-
    2
    3
    =
    2
    3
    ×41005-
    2
    3
    ．
    故答案为：a5+a4+a3+a2+a+1，a12-1，an+1-1．
    点评：本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要找出题中的规律是本题的关键．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    探索规律
    观察下列各式及验证过程：n=2时有式①：2×
    2
    3
    =
    		2+
    2
    3
    n=3时有式②：3×
    3
    8
    =
    		3+
    3
    8

    式①验证：2×
    2
    3
    =
    23
    3
    =
    (23-2)+2
    22-1
    =
    2(22-1)+2
    22-1
    =
    		2+
    2
    3

    式②验证：3×
    3
    8
    =
    33
    8
    =
    (33-3)+3
    32-1
    =
    3(32-1)+3
    32-1
    =
    		3+
    3
    8

    （1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
    （2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    猜想、探索规律
    （1）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第100组应该有种子数．
     
    粒；
    （2）已知a1=
    1
    1×2×3
    +
    1
    2
    =
    2
    3
    ，a2=
    1
    2×3×4
    +
    1
    3
    =
    3
    8
    ，a3=
    1
    3×4×5
    +
    1
    4
    =
    4
    15
    ，…    ，依据上述规律，则a99=
     
    ；
    （3）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，那么第101个图案中由
     
    个基础图形组成；
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    （4）观察下列各式：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，…，根据观察计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    2008×2009
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    8、观察下列各式，1×3=22-1；3×5=42-1；5×7=62-1；7×9=82-1；…由此，想到此例包含的规律可以用下式（　　）表示．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、观察下列各式：2×4=32-1，3×5=42-1，4×6=52-1，…，10×12=112-1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：
    n（n+2）=（n+1）2-1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    14、观察下列各式：
    （1）1=12；（2）2+3+4=32；（3）3+4+5+6+7=52；（4）4+5+6+7+8+9+10=72； …
    请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（　　）

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