Question

如图，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P点坐标为______；
（2）若P、A两点在抛物线y=-

4

3

x2+bx+c上，求b，c的值；
（3）若直线y=kx+m平行于CP，且于（2）中的抛物线有且只有一个交点，求k，m的值；
（4）在（2）中抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在求此时M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点P作PG⊥x轴交CB于G．
tan∠CAO=

OC

OA

=

3

3

，
∴∠CAO=30°，
∴PCA=60°，
又∵∠ACB=30°，
∴∠PCB=30°，
在RT△PCM中，PG=

1

2

PC=

1

2

OC=

1

2

，GC=

3

2

，
∴点P的坐标为（

3

2

，

3

2

）．
综上可得：∠PCB=30°，P点坐标为（

3

2

，

3

2

）．

（2）把P(

3

2

，

3

2

)与A(

3

，0)分别代入y=-

4

3

x2+bx+c，
解得：b=

3

，c=1，
∴y=-

4

3

x2+

3

x+1，

（3）由P(

3

2

，

3

2

)，C（0，1）可得直线CP：y=

3

3

x+1，
∵直线y=kx+m平行于CP，
∴k=

3

3

，
∵y=

3

3

x+m与y=-

4

3

x2+

3

x+1只有一个交点，
∴-

4

3

x2+

3

x+1=

3

3

x+m有两个相同的实数根(

2 3

3

)2-4×

4

3

×(m-1)=0，
解得：m=

5

4

；…（3分）

（4）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大．
∵△ACP面积为定值，
∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大．
过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G．

S_△CMP=s_△CME+S_△PME=

1

2

ME•CG=

3

4

ME
设M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，
∴EN=

3

3

x₀
∴ME=MF-EF=-

4

3

x₀²+

2 3

3

x₀
∴S_△CMP=-

3

3

x₀²+

1

2

x
∵a=-

3

3

＜0，
∴S有最大值．
当x₀=

3

4

时，S的最大值是

3

16

，
∵S_△MCAP=S_△CPM+S_△ACP
∴四边形MCAP的面积的最大值为

9 3

16

此时M点的坐标为（

3

4

，

3

2

）
所以存在这样的点M（

3

4

，

3

2

），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为

9 3

16

．