Question

如图，D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且DE=DF．
（1）下列结论中正确的有______（填上所有正确结论代号）
①AD是△ABC的中线     
②AD是△ABC的角平分线
③S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：DC
④AE=AF．
（2）在图中连接EF，求证：AD垂直平分EF．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥AC，DF⊥AB，DE=DF，
∴AD是△ABC的角平分线，
故②正确；
∵S_△ABD：S_△ACD=（AB•DF）：（AC•DE）=AB：AC=BD：DC，
故③正确；
∵∠DAF=∠DAE，∠AFD=∠AED=90°，
又∵∠ADF=90°-∠DAF，∠ADE=90°-∠DAE，
∴∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF；
故④正确；
∵BD不一定等于CD，
∴①错误；
故答案为：②③④；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠ABC的平分线，
又∵∠ADF=90°-∠DAF，∠ADE=90°-∠DAE，
∴∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF．
分析：（1）由DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且DE=DF，根据角平分线的判定，即可证得AD是△ABC的角平分线；由三角形的面积公式，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证得S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：DC；易证得∠ADF=∠ADE，然后由角平分线的性质，可证得AE=AF；
（2）根据（1）可证得AD是△ABC的角平分线且AE=AF，然后由三线合一，可证得AD垂直平分EF．
点评：此题考查了角平分线的性质与判定以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．