Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F.

(1)线段AE＝______；

(2)设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）时，半径PF＝；t＝16，半径PF＝12.

【解析】

（1）由矩形性质知BC=AD=5，根据BE：CE=3：2知BE=3，利用勾股定理可得AE=5；

（2）由PF∥BE知，据此求得AF=t，再分0≤t≤4和t＞4两种情况分别求出EF即可得；

（3）由以点F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC相切时PF=PG，再分t=0或t=4、0＜t＜4、t＞4这三种情况分别求解可得

(1)∵四边形ABCD为矩形，

∴BC＝AD＝5，

∵BE∶CE＝3∶2，

则BE＝3，CE＝2，

∴AE＝＝＝5.

(2)如图1，

当点P在线段AB上运动时，即0≤t≤4，

∵PF∥BE，

∴＝，即＝，

∴AF＝t，

则EF＝AE－AF＝5－t，即y＝5－t(0≤t≤4)；

如图2，

当点P在射线AB上运动时，即t＞4，

此时，EF＝AF－AE＝t－5，即y＝t－5(t＞4)；

综上，；

(3)以点F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC相切时，PF＝FG，分以下三种情况：

①当t＝0或t＝4时，显然符合条件的⊙F不存在；

②当0＜t＜4时，如解图1，作FG⊥BC于点G，

则FG＝BP＝4－t，

∵PF∥BC，

∴△APF∽△ABE，

∴＝，即＝，

∴PF＝t，

由4－t＝t可得t＝，

则此时⊙F的半径PF＝；

③当t＞4时，如解图2，同理可得FG＝t－4，PF＝t，

由t－4＝t可得t＝16，

则此时⊙F的半径PF＝12.