Question

如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的

⊙O经过点D。

（1）求证： BC是⊙O切线；

（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长。

 

Answer 1

（1）证明: 如图1，连接OD.

∵ OA=OD, AD平分∠BAC,

∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD。

∴ ∠ODA=∠CAD。　

∴ OD//AC。

∴ ∠ODB=∠C=90°。

∴ BC是⊙O的切线。

　　　　　　　　 　　　　　　　　　

（2）解法一: 如图2，过D作DE⊥AB于E.

∴ ∠AED=∠C=90°.

又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD,

∴ △AED≌△ACD.

∴ AE=AC, DE=DC=3。

在Rt△BED中，∠BED =90°,由勾股定理，得　　　　　　 　　

图2

BE=。

设AC=x（x>0）, 则AE=x。

在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得

x² +8²= (x+4) ²。

解得x=6。

即 AC=6。

解法二: 如图3，延长AC到E，使得AE=AB。

∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD,

∴ △AED≌△ABD. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ ED=BD=5。

在Rt△DCE中，∠DCE=90°, 由勾股定理，得

CE=。　　　　　　　　　　

在Rt△ABC中，∠ACB=90°, BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得 　　

AC² +BC²= AB ²。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即 AC² +8²=(AC+4) ²。

解得 AC=6。