Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，将直角梯形ABCD放置在平面直角坐标系中．已知A（-2，0）、B（4，0）、D（0，3），反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将直角梯形ABCD绕点B沿顺时针方向旋转90°，点A、C、D的对应点分别为点A′、C′、D′，C′D′与反比例函数的图象交于点E．
①求点D在旋转过程中经过的路径长；
②连接CE、OC、OE，求△OCE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据点B和点D的坐标求出点C的坐标，将点C的坐标代入y=

k

x

，求出k的值即可；
（2）①连接BD，BD′，利用扇形弧长公式求出

DD′

的长即可；
②求出S_{四边形OCEC′}和S_△OBC，利用S_{四边形OCEC′}-S_△OBC求出S_△OCE的值．

解答：解：（1）∵D点纵坐标为3，
∴C点纵坐标3，
∵B点横坐标为4，
∴C点横坐标4，
∴C点坐标为（4，3）．
将（4，3）代入反比例函数y=

k

x

得，k=4×3=12，
故y=

12

x

．
（2）①连接BD，BD′．
∵OB=4，OD=3，
∴BD=

32+42

=5，
∴

DD′

=

90π5

180

=

5

2

π．
②∵OC′=4+3=7，
∴E点横坐标为7，
当x=7时，y=

12

7

，
∴E点坐标为（7，

12

7

）．
S_{四边形OCEC′}=S_△OBC+S_{四边形BCEC′}=

1

2

×4×3+

1

2

×（

12

7

+3）=6+

33

14

=

117

14

；
S_△OBC=

1

2

×7×

12

7

=6，
∴S_△OCE=S_{四边形OCEC′}-S_△OBC=

117

14

-6=

33

14

．

点评：本题考查了反比例函数解析式，涉及扇形的弧长、旋转、勾股定理和三角形及梯形的面积，难度较大．