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    如图，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点，请解答以下问题：

    （1）若测得OA=OB=2（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
    （3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．
    【答案】分析：（1）根据抛物线的对成性，先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
    （2）过点A作AE⊥x轴于点E，可利用AB2=OA2+OB2，求出点A的横坐标．
    （3）首先设A（-m，-m2）（m＞0），B（n，-n2）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=-mn，再利用勾股定理得出mn=4，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
    解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
    ∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
    ∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
    将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-．

    （2）过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，∴B （1，-），
    设A（-m，-m 2）（m＞0），则
    OB2=12+（）2=，OA2=m2+m4，AB2=（1+m）2+（-+m2）2，
    ∵∠AOB=90°，∴AB2=OA2+OB2，
    ∴（1+m）2+（-+m2）2=m2+m4+，
    解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．

    （3）解法一：设A（-m，-m 2）（m＞0），B（n，-n 2）（n＞0），
    设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，
    ①×n+②×m得，（m+n）b=-（m2n+mn2）=-mn（m+n），
    ∴b=-mn，
    由前可知，OB2=n2+n4，OA2=m2+m4，AB2=（n+m）2+（-m2+n2）2，
    由AB2=OA2+OB2，得：n2+n4+m2+m4=（n+m）2+（-m2+n2）2，
    化简，得mn=4．
    ∴b=-×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），

    解法二：设A（-m，-m 2）（m＞0），B（n，-n 2）（n＞0），
    直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△BOF=S△AOC+S△BOC，可得
    ×（m2+n2）（m+n）-m×m2-n×n2=CO•m+CO•n
    化简，得CO=mn，
    由前可知，OB2=n2+n4，OA2=m2+m4，AB2=（n+m）2+（-m2+n2）2，
    由AB2=OA2+OB2，得：n2+n4+m2+m4=（n+m）2+（-m2+n2）2，
    化简，得mn=4．
    ∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
    点评：此题考查了抛物线的对称性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
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    （1）当m=1时，n=
    -1
    -1
    ；当m=2时，n=
    -
    1
    2
    -
    1
    2
    ．试猜想m与n满足的关系，并证明你猜想的结论．
    （2）连接M、N，若△OMN的面积为S，求S关于m的函数关系式．
    （3）当三角板绕点O旋转到某一位置时，恰好使得∠MNO=30°，此时过M作MA⊥x轴，垂足为A，求出△OMA的面积．
    （4）当m=2时，抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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    （1）若测得OA=OB=2
    		2
    （如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
    （3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．

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    如图，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点，请解答以下问题：

    （1）若测得OA=OB=2数学公式（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
    （3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．

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    如图，将一把直角三角板的直角顶点放置于原点O，两直角边与抛物线交于M、N两点，设M、N的横坐标分别为m、n（m﹥0，n﹤0）；请解答下列问题：
    【小题1】当m=1时，n=__ ▲ ； 当m=2时，n=__ ▲ 试猜想m与n满足的关系，并证明你猜想的结论。
    【小题2】连接M、N，若△OMN的面积为S，求S关于m的函数关系式。
    【小题3】当三角板绕点O旋转到某一位置时，恰好使得∠MNO=30°，此时过M作MA⊥x轴，垂足为A，求出△OMA的面积
    【小题4】当m=2时，抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

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