Question

已知α，β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先求出两根之和与两根之积的值，再将（α-1）²+（β-1）²化简成两根之和与两根之积的形式，最后利用二次函数的性质求最小值．

解答：解：∵一元二次方程x²-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-

3

4

）²≥（

9

4

）²；
∴4（a-

3

4

）²-

49

4

≥8；
则（α-1）²+（β-1）²的最小值为8．

点评：本题是利用根与系数的关系，把求代数式的最值的问题转化为关于同一个字母的二次三项式的求值问题，从而利用配方法进行判断．