Question

如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
，解得：。
∴函数解析式为：y=x²+2x。
（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，
若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D₁（﹣3，3）；
若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D₂（1，3）。
综上所述，点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）。
（3）存在。
如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根据勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20
∴BO²+CO²=BC²。∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，则，即。
∴x+2=3（x²+2x），解得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）。
当x=时，y=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，则，即。
∴x²+2x=3（x+2），解得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）。
当x=3时，y=15，即P（3，15）。
∴符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。

解析试题分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式。
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标。
（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标。