Question

（2012•路南区一模）如图①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连接AA₁，直线AA₁分别交直线PB、直线BB₁于点E，F．
（1）如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA₁与△BPB₁始终存在

相似

关系（填“相似”或“全等”），同时可得∠A₁AP

=

∠B₁BP（填“=”或“＜”“＞”关系）．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；
（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x，S=△A₁BB₁面积，求S关于x的函数关系式

Answer 1

分析：（1）由旋转角相等得到一对角相等，且两对边相等，可得出三角形APA₁与三角形BPB₁为顶角相等的等腰三角形，利用内角和定理得到底角相等，再根据对顶角相等，等量代换得到一对角相等，又一对角为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得到三角形BEF与三角形AEP相似；
（2）存在，理由为：由（1）得出三角形BEF与三角形AEP相似，要使两三角形全等，只需找出一对角相等，即BE=AE即可，此时利用等边对等角得到一对角相等，由AB=BC，∠ABC=120°，求出∠BAC的度数，表示出∠PAA₁的度数，由∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA₁，将各自的值代入即可列出两三角形全等时，α与β满足的关系；
（3）过点P做PH⊥AA₁于点H，过点B做BM⊥B₁A₁交B₁A₁的延长线于点M，如图③所示，由旋转的性质得到△APB≌△A₁PB₁，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到∠BAP=∠B₁A₁P，AB=A₁B₁=4，由∠APA₁=α=120°，利用三角形的内角和定理得到∠BAP=∠PA₁A=∠B₁A₁P=30°，进而得到∠AA₁D=∠BA₁M=60°，在Rt△PHA和Rt△BM A₁中，利用锐角三角函数定义由x表示出AH，AA₁，表示出A₁B，利用锐角三角形函数定义表示出BM，三角形A₁BB₁为B₁A₁为底边，BM为高，利用三角形的面积公式即可列出S关于x的函数解析式．

解答：解：（1）∵∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
∴∠PAA₁=∠PBB₁=

1

2

（180°-α）=90°-

α

2

，
∵∠PBB₁=∠EBF，
∴∠EBF=∠PAE，又∠BEF=∠AEP，
∴△BEF∽△AEP；
故答案为：相似，=；
（2）存在，同上可证△BEF∽△AEP，
∴若要使得△BEF≌△AEP，只需满足BE=AE即可，
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠ABC=120°，AB=BC，∠APA₁=α，AP=A₁P，
∴∠BAC=30°，∠PAA₁=90°-

α

2

，
∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA₁，
∴β=30°-（90°-

α

2

）=

α

2

-60°，
则当△BEF≌△AEP时，β=

α

2

-60°（或α=2β+120°）；
（3）过点P做PH⊥AA₁于点H，
过点B做BM⊥B₁A₁交B₁A₁的延长线于点M，
∵△APB≌△A₁PB₁，
∴∠BAP=∠B₁A₁P，AB=A₁B₁=4，
∵∠APA₁=α=120°，
∴∠BAP=∠PA₁A=∠B₁A₁P=30°，
∴∠AA₁D=∠BA₁M=60°，
∴在Rt△PHA和Rt△BM A₁中，AP=x，AH=

3

2

x，AA₁=

3

x，
∴A₁B=AB-AA₁=4-

3

x，
∴BM=A₁Bsin60°=

3

2

（4-

3

x）=2

3

-

3

2

x，
则S=

1

2

A₁B₁•BM=

1

2

×4×（2

3

-

3

2

x）=4

3

-3x．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．