Question

如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=12cm，AB=15cm．测量出AD所对的圆心角为120°，如图2所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求剖割前圆柱形木块的表面积（结果可保留π和根号）．

Answer 1

解：（1）连接OA、OD，过O点作OE⊥AD，垂足为E，如图2所示，
∵OE⊥AD，∠AOD=120°，AD=12cm，
∴AE=DE=AD=6cm，∠AOE=∠AOB=60°，
在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴OA===4cm，
则圆O的半径为4cm；

（2）∵圆O的半径r=4cm，圆柱的高AB=h=15cm，
∴圆柱形木块的表面积
S=2S_底+S_侧
=2πr²+2πrh
=2×π×（4）²+2×π×4×15
=（120+96）πcm²．
分析：（1）连接OA、OD，过O点作OE⊥AD，垂足为E，如图2所示，由OE垂直于AD，利用垂径定理得到E为AD的中点，由AD的长求出AE的长，同时由OA=OD，OE垂直于AD，利用三线合一得到OE为∠AOD的平分线，由∠AOD的度数求出∠AOE的度数，在直角三角形AOE中，由AE的长，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OA的长，即为圆O的半径；
（2）由求出的半径r及高h，根据圆的面积公式S=πr²，及侧面积公式S=2πrh，利用圆柱体的表面积=2个底面圆面积+侧面积，即可求出圆柱体的表面积．
点评：此题考查了垂径定理的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，垂径定理，特殊角的三角函数值，圆柱的侧面积公式，以及圆的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．